例1）加法定理で以下の式を計算してみると
\begin{eqnarray} 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) & = & 2\left(\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{3}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{3}\right) \\[5pt] & = & 2\left(\sin x\cdot \frac{1}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[5pt] & = & \sin x+\sqrt{3}\cos x \\[5pt] \end{eqnarray}
これを逆からたどると三角関数の合成となります.
\begin{eqnarray} \sin x+\sqrt{3}\cos x & = & 2\left(\sin x\cdot \frac{1}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) … ① \\[5pt] & = & 2\left(\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{3}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{3}\right) … ② \\[5pt] & = & 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) … ③ \end{eqnarray}
① \(\displaystyle\sin x,\cos x\) の係数から \(\displaystyle\sqrt{{1}^{2}+{\sqrt{3}}^{2}}=2\)
でくくる.
\(\displaystyle a\sin x+b\cos x \) において \(\displaystyle r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\) でくくると覚えてしまってもよい.
② ①の右辺の状態になれば \(\displaystyle\cos \alpha =\frac{1}{2},\;\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) から \(\displaystyle\alpha =\frac{\pi }{3}\) となり
③ 加法定理に戻すと合成の完了.
①のみ覚えておけば, ②③は流れに乗っていくだけ.
ただし加法定理には慣れておく必要があります.
例2）\(\displaystyle\sin x+\cos x\)の合成
\(\displaystyle\sqrt{2}\) でくると \(\displaystyle\sin x,\cos x\) の係数が \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) だから \(\displaystyle\alpha =\frac{\pi }{4}\).
よって
\(\displaystyle\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\).
あとは右辺の \(\displaystyle\sin\) を展開して左辺になるか確認して終了.
同様にして\(\displaystyle\cos \left(x+\alpha \right)\)の形に合成することもできます.
例3）\(\displaystyle\sin x+\sqrt{3}\cos x\)を合成する（今度は \(\displaystyle\cos \left(x+\alpha \right)\) へ向かう）
\(\displaystyle r=\sqrt{{1}^{2}+\sqrt{{3}}^{\;2}}=2\)
問の式をこの 2 でくくると
\(\displaystyle 2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\)
見やすくするために（ ）内を逆にして, さらに加法定理の順にして
\(\displaystyle 2\left(\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin x\cdot \frac{1}{2}\right)\)
この（ ）の中がcosの加法定理になっているので
\(\displaystyle\cos \left(x-\alpha \right)=\cos x\cdot \cos \alpha +\sin x\cdot \sin \alpha \)と見比べて
\(\displaystyle\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \;\sin \alpha = \frac{1}{2}\) から \(\displaystyle\alpha =\frac{\pi }{6}\)
よって
\(\displaystyle\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\). 合成完了.
気になる人は右辺を展開して左辺になるか検算してください.
・三角関数の合成は加法定理の逆.
・くくる数 \(\displaystyle r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\) を忘れなければ, あとは流れに乗っていける.
・ここまで読み終えた後なら以下の合成の公式の見え方が変わるかも.
\(\displaystyle a\sin x+b\cos x=r\sin \left(x+\alpha \right)\).
ただし \(\displaystyle r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}, \hspace{0.5em}\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}},\hspace{0.5em}\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}\).