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三角関数の合成の式は

\(\displaystyle a\cdot\sin x+b\cdot \cos x = r\cdot \sin \left( x + \alpha \right),\;r = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} },\;\cos \alpha = \frac{a}{r},\;\sin \alpha = \frac{b}{r}\)

なのですが,  \(\displaystyle r = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }\)  や, 教科書の「多くの人を悩ませる あの図 」は何なのかについて考えてみたいと思います.

\begin{eqnarray} \textcolor{red}{a}\cdot \sin x + \textcolor[rgb]{0,.5,0}{b}\cdot \cos x & = & r\cdot \sin \left( x + \alpha \right) \\[5pt] & = & r\left( \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha \right) \\[5pt] & = & \sin x \left( \textcolor[rgb]{1,0,0}{r\cdot \cos \alpha } \right) + \cos x \left( \textcolor[rgb]{0,.5,0}{r\cdot \sin \alpha } \right) \end{eqnarray}

両辺見比べて

\(\displaystyle \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r\cdot \cos \alpha },\; \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{r\cdot \sin \alpha }\)

これから  \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{r},\; \sin \alpha = \frac{b}{r}\)  が得られ,

ここで例の教科書の図が意味を持ってきます.（上の式と三角関数の定義を確認）

赤の部分は説明のため書き足した部分です.　雰囲気をつかむために直角三角形で説明します.

図の \(\displaystyle \angle\alpha\) を内角とする直角三角形に注目して,  \(\displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{r},\;\sin \alpha = \frac{b}{r}\) となっているのを確認してください.　\(\displaystyle r = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }\)  は三平方の定理からです.（一応, 念のため）

また, \(\displaystyle \alpha\) が一般角になっても, 点 \(\displaystyle( a, b )\) が半径 \(\displaystyle r \) の円に乗っていると考えれば同じ結果になります.

\(\displaystyle r = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }\) とすることで \(\displaystyle r,a, b\) が1つの直角三角形に収まって, \(\displaystyle ∠\alpha\) も加法定理からこの同じ三角形に収まります.　教科書の図はそれを表したものではということです.

加法定理と合成は逆の操作になるので加法定理を意識すると分かりやすいと思います.